Olá, pessoal! Neste post, vamos resolver juntos a questão 4 da prova de matemática do grupo 4 do vestibular da PUC-Rio 2024. Confira o enunciado e acompanhe a resolução passo a passo, que também está disponível no meu canal do YouTube! Não esqueça de dar um like no vídeo e se inscrever no canal para mais dicas e resoluções como esta. Forte abraço e bons estudos!
Enunciado
Seja 
a função definida por 
.
a) Encontre os pontos de interseção entre o gráfico de 
e o eixo 
.
b) Seja 
a função definida por 
. Encontre as coordenadas dos pontos de interseção entre os gráficos de e de 
.
c) Seja 
a função definida por 
, onde 
. Para quais valores de 
existe pelo menos um ponto de interseção real entre os gráficos de e de 
?
Gabarito:
a) Os pontos de interseção entre o gráfico de e o eixo são 
e 
.
b) Os pontos de interseção entre os gráficos de e são e 
.
c) 
.
Resolução
a) Todo ponto pertencente ao eixo tem ordenada igual a zero. Então, para encontrar os pontos de interseção entre o gráfico de e o eixo , devemos resolver a equação 
. Então, temos que:
![\[2x^2-10x+8=0\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-448fc9f4a25a0e3731e4878a82ff6fee_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Primeiramente, vamos calcular o discriminante da equação acima:
![\[\begin{array}{rcl}\Delta & = & \left(-10\right)^2-4\cdot2\cdot8\\& = & 100-64\\& = & 36\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-12a21e03a502ae41522ae350d7acf90a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Agora, vamos substituir este valor de
na fórmula resolvente da equação do 2º grau: ![\[\begin{array}{rcl}x & = & \dfrac{-\left(-10\right)\pm\sqrt{36}}{2\cdot2}\\[1em]& = & \dfrac{10\pm6}{4}\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-139050fda7d0c790f0f1f20e26908bdf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Logo, temos que:
![\[x=4 \text{ ou } x=1.\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8a7bcbbe53e2adeeb85589beac811eda_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Portanto, os pontos de interseção entre o gráfico de
e o eixo são e .b) Para encontrar os pontos de interseção entre os gráficos de e , devemos resolver a equação 
.
Então, temos que:
![\[\begin{array}{rl}& 2x^2-10x+8=2x-8 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & 2x^2-12x+16=0 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & x^2-6x+8=0\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-12ecfec00efa519b911b260ef00cf8af_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Assim como no item anterior, vamos calcular o discriminante da equação acima.
![\[\begin{array}{rcl}\Delta & = & \left(-6\right)^2-4\cdot1\cdot8\\& = & 36-32\\& = & 4\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32390caf5da3f56b629abd7ee9ee98ff_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Substituindo na fórmula resolvente da equação do 2º grau, temos que:
![\[\begin{array}{rcl}x & = & \dfrac{-\left(-6\right)\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}\\[1em]& = & \dfrac{6\pm2}{2}\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c78548a0c48e8578b1462343b45ff7cc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Logo, temos que:
![\[x=4 \text{ ou } x=2.\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a276bb6d7ad1d7a002a5d30f061ec7f9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Se
, então 
.Se
, então 
.Portanto, os pontos de interseção entre os gráficos de
e são e .c) Para encontrar os pontos de interseção entre os gráficos de e , devemos resolver a equação 
.
Então, temos que:
![\[\begin{array}{rl}& 2x^2-10x+8=2x+b \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & 2x^2-12x+8-b=0\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3f4fb06e91647c3aad56ea10e6733609_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Para que exista pelo menos um ponto de interseção real entre os gráficos de
e , a equação acima deve ter pelo menos uma solução real. Para isso, é necessário que: ![\[\begin{array}{rl}& \Delta \geq 0 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & \left(-12\right)^2-4\cdot2\cdot\left(8-b\right) \geq 0 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & 144-64 +8b \geq 0 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & 8b \geq -80 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & b \geq -10\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2356f0ee1b45917c6e90451463e5e3be_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Portanto, para que exista pelo menos um ponto de interseção real entre os gráficos de
e , .
