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PUC-Rio 2024 | Grupos 1 e 3 | Questão 1

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Pontífica Universidade Católica do Rio de Janeiro

Olá, pessoal! Neste post, vamos resolver juntos a questão 1 da prova de matemática dos grupos 1 e 3 do vestibular da PUC-Rio 2024. Confira o enunciado e acompanhe a resolução passo a passo, que também está disponível no meu canal do YouTube! Não esqueça de dar um like no vídeo e se inscrever no canal para mais dicas e resoluções como esta. Forte abraço e bons estudos!

Enunciado

Seja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} a função definida por f\left(x\right)=\left|x-2\right|+\left|x\right|+\left|x+2\right|.

a) Calcule f(0).
b) Seja g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por g\left(x\right)=9. Determine todas as soluções reais da equação f\left(x\right)=g\left(x\right).
c) Seja h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por h\left(x\right)=\frac{x^2}{2}. Determine todas as soluções reais da equação f\left(x\right)=h\left(x\right).

Gabarito:

a) f(0) = 4.
b) \left\{-3;3\right\}.
c) \left\{-6;6\right\}.

Resolução

a) Para calcular o f\left(0\right), basta substituir x por 0 na lei de formação de f.
Logo, f\left(0\right) é igual a:

    \[\begin{array}{rl} & \left|0-2\right|+\left|0\right|+\left|0+2\right|\\= & \left|-2\right|+0+\left|2\right|\\= & 2+0+2\\= & 4.\end{array}\]


Portanto, f\left(0\right)=4.

b) Temos que:

    \[\left|x-2\right|=\left\{\begin{array}{l}x-2 \text{, se } x \geq 2\\-x+2 \text{, se } x < 2\end{array}\right.,\]


    \[\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x \text{, se } x \geq 0\\-x \text{, se } x < 0\end{array}\right.,\]


e

    \[\left|x+2\right|=\left\{\begin{array}{l}x+2\text{, se } x \geq -2\\-x-2\text{, se } x < -2\end{array}\right..\]


Logo, substituindo em f\left(x\right) as expressões acima, respeitando os intervalos dados, temos que:

    \[f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-3x \text{, se }x<-2\\-x+4\text{, se } -2 \leq x <0\\x+4\text{, se } 0 \leq x < 2\\3x\text{, se }x \geq 2\\\end{array}\right.\]


Logo,

i) se x<-2, então:

    \[\begin{array}{rl}& -3x=9 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & x=-3;\end{array}\]


ii) se -2 \leq x < 0, então:

    \[\begin{array}{rl}& -x+4=9 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & -x=5 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & x=-5<-2\text{ (Não convém)};\end{array}\]


iii) se 0 \leq x < 2, então:

    \[\begin{array}{rl}& x+4=9 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & -x=5 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & x=5>2\text{ (Não convém)};\end{array}\]


iv) se x\geq 2, então:

    \[\begin{array}{rl}& 3x=9\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & x=3.\end{array}\]


Portanto, o conjunto-solução da equação f\left(x\right)=g\left(x\right) é \left\{-3,3\right\}.

c) Pelo item b), podemos afirmar que

    \[f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-3x \text{, se }x<-2\\-x+4\text{, se } -2 \leq x <0\\x+4\text{, se } 0 \leq x < 2\\3x\text{, se }x \geq 2\end{array}\right..\]


Logo,

i) se x<-2, então:

    \[\begin{array}{rl}& -3x=\dfrac{x^2}{2} \Leftrightarrow\\[1em]\Leftrightarrow & -6x=x^2 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & x^2 + 6x = 0 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & x\cdot\left(x+6\right)=0 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & x=0>-2 \text{ (Não convém)}\\& \text{ ou }\\& x = -6;\end{array}\]


ii) se -2 \leq x < 0, então:

    \[\begin{array}{rl}& -x+4=\dfrac{x^2}{2} \Leftrightarrow\\[1em]\Leftrightarrow & -2x+8=x^2\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & x^2 + 2x - 8 =0.\end{array}\]


Logo,

    \[\begin{array}{rl}& \Delta = 2^2 -4 \cdot 1 \cdot \left(-8\right)=36\\[1em]& x=\dfrac{-2\pm\sqrt{36}}{2\cdot1}=\dfrac{-2\pm6}{2}=-1\pm3 \Leftrightarrow\\[1.5em]\Leftrightarrow & x=2>0 \text{ (Não convém)}\\& \text{ou} \\& x=-4<-2 \text{ (Não convém)};\end{array}\]


iii) se 0 \leq x < 2, então:

    \[\begin{array}{rl}& x+4=\dfrac{x^2}{2} \Leftrightarrow\\[1em]\Leftrightarrow & 2x+8=x^2 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & x^2-2x-8=0.\end{array}\]


Logo,

    \[\begin{array}{rl}& \Delta = \left(-2\right)^2 -4 \cdot 1 \cdot \left(-8\right)=36\\[1em]& x=\dfrac{-\left(-2\right)\pm\sqrt{36}}{2\cdot1}=\dfrac{2\pm6}{2}=1\pm3 \Leftrightarrow\\[1.5em]\Leftrightarrow & x=4>2 \text{ (Não convém)}\\& \text{ ou}\\& x=-2<0 \text{ (Não convém)};\end{array}\]


iv) se x \geq 2, então:

    \[\begin{array}{rl} & 3x=\dfrac{x^2}{2}\\[1em]\Leftrightarrow & 6x=x^2\\\Leftrightarrow & x^2-6x=0\\\Leftrightarrow & x\cdot\left(x-6\right)=0\\\Leftrightarrow & x=0<2 \text{ (Não convém)}\\& \text{ou}\\& x=6.\]


Portanto, o conjunto-solução da equação f\left(x\right) = h\left(x\right) é \left\{-6;6\right\}.

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Professor Gustavo Adolfo

Gustavo Adolfo é professor de Matemática com mais de 20 anos de experiência, especializado em vestibulares, concursos militares e olimpíadas de Matemática. Mestre em Matemática e apaixonado por transformar o aprendizado em resultados concretos.

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