Olá, pessoal! Neste post, vamos resolver juntos a questão 3 da prova de matemática dos grupos 1 e 3 do vestibular da PUC-Rio 2024. Confira o enunciado e acompanhe a resolução passo a passo, que também está disponível no meu canal do YouTube! Não esqueça de dar um like no vídeo e se inscrever no canal para mais dicas e resoluções como esta. Forte abraço e bons estudos!
Enunciado
Considere uma hipérbole H de equação e o ponto P de coordenadas
. Seja
a reta de coeficiente angular
passando pelo ponto
. Assim, a equação de
é
.
a) Encontre todos os pontos de interseção entre a hipérbole H e a reta .
b) Encontre todos os pontos de interseção entre a hipérbole H e a reta .
c) Para cada , quantos pontos distintos do plano cartesiano
pertencem à interseção entre a hipérbole H e a reta
? Divida em casos, se necessário.
Gabarito
a)
b)
c) não há pontos de interseção;
ou
ou
há apenas um ponto de interseção;
ou
há dois pontos de interseção.
Resolução
a) Temos que:
Logo,
Portanto, o único ponto de interseção entre


b) Temos que:
Logo,
Então,

Portanto, o único ponto de interseção entre


c) Temos que:
Logo,
O discriminante

Então, temos as seguintes possibilidades:
i)

Neste caso, não há pontos de interseção.
ii)

Neste caso, há apenas um ponto de interseção.
iii) :
Neste caso, há dois pontos de interseção, exceto quando
